Подтверждение принципа наименьшего периметра при осадке плоских профилированных заготовок

В кузнечно-штамповочном производстве физическая картина течения металла может быть описана в рамках теории пластичности, являющейся базой для моделирования процессов обработки металлов давлением. Для некоторых из них, в частности, процесса свободной осадки, задача сводится к упрощению системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающей напряженно-деформированное состояние материала, за счет предположения, что процесс деформирования происходит в условиях плоской деформации. Такое допущение возможно в том случае, когда деформируемая область имеет значительные размеры и учитывается течение материала лишь в сечениях, совпадающих с плоскостью прикладываемой силы, в то время как в ортогональном направлении деформации приравниваются к нулю. В качестве примера можно привести задачу о сжатии тонкого слоя металла между жесткими плитами [1], которая решается в рамках «теории течения тонкого пластического слоя». Эта задача может быть преобразована в плоскую благодаря рассмотрению картины течения металла в плоскости контакта инструмента и заготовки. Соответствующая ей математическая модель используется для описания процессов обработки металлов давлением.

Суть ее может быть выражена дифференциальным уравнением, которое совместно с граничными условиями на контуре заготовки и условиями трения на поверхностях контакта определяет давление р плиты на материал и, следовательно, необходимое усилие при условии 

  ;

где

или в упрощенном виде:

Здесь х, у — координаты в плоскости, перпендикулярной действующей силе, т. е. в плоскости контакта инструмента и заготовки; P — обобщенное давление; h — толщина деформируемого слоя; t — касательное напряжение (напряжение трения); σ_S — предел текучести на растяжение–сжатие (напряжение пластического течения).

Тогда можно обозначить две задачи:

1. Энергосиловая (задача в напряжениях), которая заключается в возможности и необходимости расчета усилий оборудования (в пресса), необходимых для деформирования материала. Решение этой задачи базируется на «песчаной аналогии», очевидным образом вытекающей из вышеприведенных уравнений, в соответствии с которой пространственная эпюра контактных давлений представляет собой поверхность одинакового ската.
2. Деформационная (задача в перемещениях-деформациях), которая, главным образом, заключается в построении картины течения металла, включающей линии раздела течения металла, вдоль которых скорости движения частиц материала близки к нулю, и линии тока, касательные к которым указывают траектории движения частиц материала. В геометрическом смысле линии раздела течения металла — эквидистанты по отношению к контуру деформируемой области. На этих положениях базируется разработанная авторами «экви-теория» [2–7].

В рамках «теории течения тонкого пластического слоя» эти две задачи взаимосвязаны, т. к. проекция гребней пространственной эпюры контактных давлений на плоскость контакта представляет собой линию раздела течения металла (геометрическое место точек, равноудаленных от контура заготовки). Таким способом объемную задачу можно свести к плоской.

Экспериментально доказано [8], что в условиях значительного трения призматическая заготовка деформируется в цилиндрическую, при этом изначально квадратное сечение заготовки в плоскости, перпендикулярной действующей силе, превращается в круг. Следовательно, подтверждаются принципы кратчайшей нормали и наименьшего периметра, и они применимы к «толстым» образцам. Последние эксперименты показывают, что указанные принципы распространяются на заготовки любой формы поперечного сечения (риунок 1), а не только традиционно представленные в экспериментах К. Зоббе или И.Я. Тарновского [9]. При этом толщина слоя не оказывает существенного влияния на формоизменение заготовки.

На основе «экви-теории» разработан программный комплекс EQUI, который служит эффективным инструментом моделирования картины течения металла (рисунок 2) по полотну заготовки в процессах обработки металлов давлением, экспресс-анализа неравномерности течения металла в контактной плоскости и прогнозирования формоизменения плоских заготовок, в том числе и образования макродефектов.  

На основе анализа картины течения металла образцов (см. рисунок 1, 2)  можно предположить, что зоны с отрицательной кривизной контура будут формироваться быстрее, поскольку в них сходится большее количество и большей длины линий тока, что и подтверждается экспериментально (рисунок 1), благодаря чему поперечное сечение профилированной (сложноконтурной) заготовки превращается в круг.

 Выводы.

1. Возможность моделирования на основе «экви-теории» картины течения металла при осадке плоских заготовок подтверждается экспериментальными результатами.
2. Разработанный на основе «экви-теории» программный комплекс позволяет моделировать картину течения металла по полотну заготовки в процессах обработки металлов давлением, осуществлять экспресс-анализ неравномерности течения металла по контактной поверхности и прогнозировать формоизменение профилированных плоских заготовок.